La Máquina Algébrica de Torres Quevedo

máquina algébrica

La máquina algébrica de Torres Quevedo estaba diseñada para resolver ecuaciones de hasta ocho términos. Era una máquina mecánica y analógica. Las cantidades se representaban en unos elementos que el inventor llamó aritmóforos, en los que los números aparecían en una escala logarítmica:

aritmóforo

Aritmóforo de la máquina algébrica

El aritmóforo consta de los siguientes elementos:

  1. Un disco graduado de 1 a 10, pero en escala logarítmica. Por lo tanto, si llamamos xd al desplazamiento del disco, se cumple que el valor de x que marca el disco es x = log (xd).
  2. Un tambor con varias divisiones (en este caso 4), en el que se representa el mismo número que en el disco anterior, pero con una mayor precisión. En este caso, la primera división del tambor representa los números del 1 al 101/4 (1,77), la segunda llega hasta 101/2 (3,16), la tercera hasta 103/4 (5,62), y la última hasta 10. Con la lectura del disco 1 sabemos cuál de los 4 tambores debemos elegir para hacer una lectura más precisa.
  3. Un disco con 16 divisiones: del 0 al 7 en negro, y del 0 al 7 en rojo. Estas divisiones sirven para indicar el número de decimales. Así, cuando se señala el 0 negro, la lectura está entre 1 y 10, si señala el 1, entre 10 y 100, y así sucesivamente. Cuando señala los números en rojo hay más decimales: con el 0 rojo señala entre 0,1 y 1, con el 1 rojo entre 0,01 y 0,1, y así sucesivamente. Por ejemplo, si la lectura es 470 y el disco señala el 0 negro, sabemos que debe tratarse un número entre 1 y 10, por lo que la lectura real es 4,70.

Por cada cuatro vueltas del tambor (2) el disco (1) daba una. Y, por cada vuelta del disco 1, el disco 3 avanzaba (o retrocedía) una división. La lectura en el aritmóforo se realizaba mediante un doble hilo, para evitar el efecto de paralaje. Como puede comprobarse en la imagen, ya sólo queda uno de los hilos:

aritmóforo de la máquina algébrica

La construcción de la máquina representaba la siguiente ecuación:

α = (A1xn1+A2xn2+A3xn3+A4xn4+A5xn5) / (A6xn6+A7xn7+A8xn8)

máquina algébrica

El proceso era el siguiente:

  1. Primeramente se introducían los coeficientes A mediante una manivela que podía acoplarse a 8 ejes que accionaban otros tantos aritmóforos.
  2. Los números correspondientes aparecían en los aritmóforos.
  3. Ocho mecanismos, encerrado cada uno en una caja, permitían cambiar la velocidad de giro (o el desplazamiento) del aritmóforo x. Torres Quevedo los llamó mecanismos exponenciales, porque servían para introducir el exponente de la variable x en cada término de la ecuación. El desplazamiento a la salida de este mecanismo es igual al desplazamiento de x por la relación de transmisión: pd = n xd (recordemos que el subíndice d quiere decir desplazamiento). Como ya hemos visto, se cumple que log(p) = n log(x), o, lo que es lo mismo, p = xn. Para cambiar el valor de un coeficiente había que cambiar físicamente el mecanismo exponencial. Por ejemplo, un mecanismo que multiplicase la velocidad del aritmóforo x por dos lo que hacía era elevar al cuadrado el valor de x representado en la escala logarítmica. Y si lo que hacía el mecanismo era reducir la velocidad a la mitad, lo que se obtenía era la raíz cuadrada.
  4. En los aritmóforos M aparece cada uno de los monomios (A xn) de la ecuación. Para ello un mecanismo adicionador suma los desplazamientos de A y de p (la salida del mecanismo exponencial): Md = Ad + n xd. Al estar todo en escala logarítmica esto equivale a log(M) = log(A) + n log(x), o, lo que es lo mismo, M = A xn.

Para poder sumar todos los monomios, y como la suma de logaritmos no es igual al logaritmo de la suma, Torres Quevedo ideó el husillo sinfín, cuyo funcionamiento se explica un poco más adelante. Este mecanismo completaba la construcción de la ecuación, y en la máquina había un total de seis, cuatro para sumar los cinco monomios del numerador, y dos para sumar los tres monomios del denominador

Para calcular las raíces de una ecuación (los valores de x que la hacen igual a cero), había que buscar cuándo α era igual a 1. Es fácil de ver que cuando ésto se cumple la ecuación queda así:

A1xn1 + A2xn2 + A3xn3 + A4xn4 + A5xn5 – A6xn6 – A7xn7 – A8xn8 = 0

Podemos ahora ver el por qué de una ecuación de este tipo. Al estar las cantidades representadas en forma logarítmica, no pueden adoptar valores negativos, y de esta manera, la máquina de Torres Quevedo permitía hasta tres términos negativos.

máquina algébrica, vista lateral

Ya sólo hacía falta girar la manivela que mueve el aritmóforo de x, lo que a su vez haría que variasen los aritmóforos correspondientes a los ocho monomios y a α, y comprobar los valores de x para cuando α fuera igual a 1.

El husillo sinfín:

El husillo sinfín realiza la fórmula que aparece en la siguiente imagen:
rd = log (10^1+1)

husillo sinfín esquema del husillo sinfín

Su periferia tiene una serie de orificios que siguen una espiral, en los que engrana una rueda dentada, y su contorno obedece a la fórmula anteriormente mostrada. La entrada del husillo es su desplazamiento o giro, y la salida el giro de la rueda que engrana con él, cuya velocidad va variando según el punto en el que engrane con el husillo. Evidentemente la rueda puede desplazarse longitudinalmente a lo largo del husillo.

Como muestra de su papel en la máquina, la siguiente figura muestra cómo se suman los dos primeros términos de la ecuación. Aparecen en primer lugar los trenes exponenciales, luego dos sumadores, el husillo sinfín, y, por último, otro adicionador. Sin corchetes aparecen los desplazamientos, y entre corchete los valores marcados por los aritmóforos en su escala logarítmica (pincha sobre la imagen para ampliarla):

esquema máquina algébrica

Para saber más: José García Santesmases. 1980. “Obra e Inventos de Torres Quevedo”. Instituto de España